Números

Te explicamos todo sobre los números, qué tipos existen y las características de cada uno. Además, qué son los conjuntos de números.

¿Qué son los números?

Los números son abstracciones, ideas o conceptos creados por el ser humano para representar, principalmente, las cantidades y las magnitudes. Los números constituyen una de las primeras invenciones de la humanidad y jugaron un rol importante en la creación de la escritura; desde entonces son vitales para el pensamiento científico y para la vida diaria de las civilizaciones.

A la vez, los números y las relaciones entre ellos y con la realidad constituyen un vasto campo de estudio, parte fundamental de la disciplina de las matemáticas. Existen, así, diversos tipos y categorías de números, y también distintas maneras de representarlos, operaciones y relaciones posibles entre ellos, e incluso cuestionamientos filosóficos en torno a lo que realmente es un número.

La palabra “número”, por su parte, proviene del latín numerus, conformado por una antigua raíz indoeuropea (nem-), que significa “repartir” o “distribuir”, y el sufijo –eso, que luego se transformaría en –ero. La palabra ancestral para “número”, así, habría sido nomesos, emparentada también con otros términos como “norma” o “numismática”.

Ver además: Lenguaje algebraico

Breve historia de los números

Aunque no es fácil dar con el origen de los números, es decir, del concepto mismo de número, se sabe que respondió a la necesidad de contar en las sociedades ancestrales de la prehistoria. De estas civilizaciones se han encontrado huesos con muescas y conjuntos de talladuras, lo que constituye una clara señal de la necesidad primitiva del ser humano de establecer un sistema de registro de cosas o del paso del tiempo.

Los primeros sistemas de este tipo, sin embargo, se cree se basaron en el empleo de los dedos de las manos y los pies. Por eso, la mayoría de los sistemas numéricos tienen una base decimal (10) o vigesimal (20).

Sin embargo, la aparición propiamente dicha de un número escrito, es decir, de un símbolo asociado directamente a una cantidad fija, es un rasgo propio de sociedades más complejas, como las surgidas en la Edad Antigua, con grandes capacidades de acumulación de riqueza y necesidades de cálculo de impuestos, para el comercio, o para componer calendarios complejos.

Se estima que los primeros números escritos aparecieron hace 5.000 años en la Mesopotamia, en tablillas de arcilla que también sirvieron para la invención de la escritura cuneiforme. En los siglos siguientes, muchas otras culturas milenarias crearon sus propios métodos y sistemas:

• Aditivos, acumulando símbolos para expresar mayor valor.
• Posicionales, en que el orden de los símbolos expresaba un mayor o menor valor.
• Híbridos, que combinaban las otras dos tendencias.

Entre ellos destacan los sistemas egipcio (3000 a. C. aprox.), babilónico (2.000 a. C. aprox.), maya (1.000 a. C. aprox.), chino (300 a. C. aprox.), entre otros.

Importancia de los números

La creación de los números es un hito central de la civilización humana, que no solo permitió a los pobladores ancestrales contar y comparar conjuntos de cosas para saber en cuál había más ingredientes (por ejemplo, qué rebaño tiene más vacas), sino también les permitió dejar registro de lo contado (por ejemplo, cuántas vacas había en el rebaño ayer). Esto puede parecer poca cosa hoy en día, pero constituye el fundamento de casi 10.000 años de estudio y utilización de los números, que ha engendrado nuevos y más complejos sistemas y operaciones en los que aplicarlos.

Así, los números son hoy en día parte inseparable de la civilización, ya que forman parte de las operaciones científicas, logísticas, religiosas y de todo tipo que llevamos a cabo en nuestra vida cotidiana. Sin ellos, no habría calendarios, no habría sistemas de cómputo y la humanidad sería incapaz de llevar adelante los complejos cálculos matemáticos de los que hemos sido capaces a lo largo de la historia.

Números romanos y números arábigos

Dado que los números no tuvieron un único origen común, sino que fueron creación de distintas culturas simultáneamente (cada una de las cuales desarrolló su método, sus signos y sus propias reglas de registro), muchos de estos sistemas numéricos se extinguieron con el paso del tiempo y fueron reemplazados por los de las grandes potencias dominantes. De allí que hoy en día se manejen en Occidente dos conjuntos principales de números, o sea, dos formatos de representación numérica: los números romanos y los números arábigos.

• Los números romanos. Creado y desarrollado en la Antigua Roma (alrededor del siglo VIII a. C.) y utilizado a lo largo de su época imperial, este sistema de numeración empleaba letras del alfabeto romano para representar valores exactos, y componía las cifras dependiendo de la ubicación de cada letra. Así, por ejemplo, la letra I representaba el uno, la V el cinco, la X el diez, la L cincuenta y la C Asimismo, II representaba el dos, VI el seis y XV el quince, ya que los valores de las letras se acumulaban; excepto si una letra antecedía a otra de mayor valor, puesto que en ese caso se restaban: IV representaba el cuatro, IX el nueve y XC el noventa. Los números romanos sobreviven hoy en día para usos muy específicos, como los capítulos de los libros, los números de los siglos y otros usos particulares.
• Los números arábigos. Creado en la India (y por eso llamados realmente indo-arábigos) y transmitido al mundo islámico, este sistema de numeración de base decimal llegó a Occidente gracias a la invasión musulmana del sur de Europa, y al establecimiento allí del al-Ándalus en la península ibérica. En este sistema los números son representados del uno al diez mediante glifos específicos, que fueron cambiando con el tiempo hasta devenir los signos que hoy en día se emplean en casi todo el planeta, los conocidos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. La lógica de estos símbolos, según la opinión popular, radicaría en la cantidad total de ángulos que tiene cada signo, cosa que sin embargo los historiadores desmienten. En todo caso, la construcción de cifras superiores a la decena se realiza añadiendo números a la derecha, pasando así de las unidades a las decenas y posteriormente a las centenas y así sucesivamente (10, 100, 1000, etcétera) siempre acumulando el valor de las cifras escritas.

Números cardinales y números ordinales

Una de las principales distinciones que existen entre los números empleados actualmente, tiene que ver con aquello que denotan:

• Números cardinales: indican cantidades.
• Números ordinales: indican posiciones.

Así, supongamos que en una bolsa tenemos un número determinado de caramelos, que vamos sacando de uno en uno y depositando sobre la mesa. Podemos usar los números cardinales para saber cuántos caramelos son en total (1, 2, 3, 4 y 5 caramelos en total) o podemos usar los números ordinales para saber en qué orden salen de la bolsa (1° o primero, 2° o segundo, 3° o tercero, 4° o cuarto, y 5° o quinto).

Los números cardinales, como hemos visto recién, se escriben como se acostumbra, mientras que los números ordinales requieren de la aparición de un símbolo de orden (°), o bien se transcriben en letras usando una combinación de prefijos, raíces y sufijos. Los números ordinales son, además, necesarios para componer los nombres de las fracciones: un cuarto (¼), dos quintos (⅖), etcétera.

Más en: Números ordinales

Números primos y números compuestos

Los números primos son un cierto tipo de números particulares, mayores que 1 y que no pueden ser divididos excepto por sí mismos y por la unidad. Esto quiere decir que no se pueden descomponer en números enteros, como es el caso del 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 o 19.

Los números primos son infinitos y aparecen al contar con una frecuencia que a muchos matemáticos ha resultado intrigante, por lo que han querido dar con el patrón exacto que determina cuándo aparece un número primo. Entre el número 1 y el número 1000, por ejemplo, existen 168 números primos.

Los números que no son primos se conocen como números compuestos. Estos números sí pueden ser divididos por otros números sin dar resultados fraccionarios. Son ejemplos de números compuestos: 4, 6, 10, 15, 18, 22, etcétera.

Más en: Números primos

Conjuntos de números

Los números son estudiados por la Teoría de números, una disciplina al servicio de la matemática, y a menudo son organizados en conjuntos, esto es, en agrupaciones infinitas de números que comparten propiedades fundamentales. Dichos conjuntos numéricos son:

• Números naturales (N). También llamados números de conteo, son aquellos que empleamos cotidianamente y que sirven para contar, comienzan por el 0, 1, 2 y terminan en el infinito. Su nombre se debe a que obedecen a la lógica natural del universo, es decir, a las cosas que existen y que se pueden contar, como cuántos dedos tenemos en la mano, o cuántas ventanas tiene un edificio. Los números naturales se clasifican en primos y compuestos.
• Números enteros (Z). Es un conjunto formado por los números naturales y sus contrapartidas negativas, esto es, números precedidos por el signo menos (-) y ubicados imaginariamente por debajo (o a la izquierda) del cero: -1, -2, -3… -999. Los números enteros, así, son un conjunto infinito de números positivos (mayores al 0) y negativos (menores al 0), siempre y cuando no sean fraccionarios (de allí el nombre de enteros). Este conjunto se representa tradicionalmente con la letra Z, proveniente del alemán Zahlen (“números”).
• Números racionales (Q). Son números racionales tanto los números enteros como los fraccionarios, ya que este conjunto se entiende como la totalidad de los números que pueden representarse como el cociente entre un número entero y un natural positivo. El conjunto se representa con la letra Q (de quotient, “cociente” en varios idiomas europeos). Son ejemplos de números racionales: 1, -1, ½, ¼, etcétera.
• Números irracionales (I). Son números cuya expresión decimal no es exacta ni periódica, es decir, no cumplen con la regla de cociente para ser números racionales. Números con decimales infinitos y aperiódicos, como √ 7 o 3,1415918… pertenecen a los irracionales, representados como conjunto por la letra I.
• Números reales (R). Es un conjunto que incluye tanto los números racionales como los irracionales, es decir, cualquier número que pueda ser representado en la recta numérica comprendida entre menos infinito (infinito negativo) y más infinito (infinito positivo) es un número real, sin importar el resto de sus propiedades. Estos números se representan con la letra R y sirve como ejemplo de ellos cualquier número que podamos pensar.
• Números complejos (C). Son una prolongación o extensión de los reales, que constituyen un cuerpo algebraicamente cerrado y que puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario. Se trata de números que no “existen” en la naturaleza, sino que deben ser buscados y propiciados por los estudiosos de las matemáticas puras a través de ecuaciones complejas y cálculos aplicados a otras disciplinas, como la física, la electrónica y la ingeniería.

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Referencias

• “Número” en https://es.wikipedia.org/
• “Etimología de Número” en el Diccionario Etimológico Castellano En Línea. http://etimologias.dechile.net/
• “Conjuntos de números” en NROC Project. https://content.nroc.org/
• “La historia de los números” (video) en la Universidad Católica de Loja (Ecuador). https://www.youtube.com/
• “Number (mathematics)” en https://www.britannica.com/