Geometría

Te explicamos qué es la geometría, su historia y su objeto de estudio. Además, las características de cada tipo de geometría.

¿Qué es la geometría?

La geometría (del griego geo, “tierra”, y metría, “medición”) es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, dedicada al estudio de la forma de los objetos, de las relaciones espaciales entre ellos y de las propiedades del espacio que los contiene.

En sus orígenes esta disciplina respondía, como su nombre lo indica, a la necesidad de medir y describir el espacio de manera práctica. Con el tiempo, la humanidad comprendió que incluso las abstracciones y representaciones más complejas pueden ser expresadas mediante conceptos geométricos.

Así surgieron diversas ramas, desarrolladas junto con el análisis matemático y otras áreas del cálculo, sobre todo las que relacionan la representación geométrica con las expresiones numéricas y algebraicas.

La geometría es una rama esencial de las matemáticas, base de numerosas disciplinas (como el dibujo técnico o la arquitectura) y complemento a muchas otras (como la física, la mecánica o la astronomía). Además, sus principios han dado origen a múltiples instrumentos y tecnologías, desde el compás y el pantógrafo hasta el sistema global de posicionamiento (GPS).

Ver además: Plano cartesiano

Historia de la geometría

La geometría tiene sus orígenes en las primeras civilizaciones humanas. Los antiguos babilonios, inventores de la rueda y de la geometría de las circunferencias, fueron posiblemente los primeros en reconocer el enorme potencial del estudio geométrico, que pronto aplicaron a la astronomía.

Algo similar ocurrió con los antiguos egipcios, quienes desarrollaron la geometría lo suficiente como para aplicarla en sus majestuosas obras arquitectónicas. En esa época la geometría y la aritmética eran ciencias eminentemente prácticas, ligadas a la medición y la construcción.

Numerosos historiadores griegos, como Heródoto (c. 484-c. 425 a. C.), Diodoro (c. 90 a. C. – c. 30 a. C.) y Estrabón (c. 63 a. C. – c. 24 d. C.) reconocieron la importancia del legado geométrico egipcio y consideraban a los egipcios como los fundadores de la disciplina. Sin embargo, fueron los antiguos griegos quienes le otorgaron a la geometría su carácter formal, gracias a su avanzado modelo filosófico y racional del conocimiento.

De particular importancia fue el matemático y geómetra Euclides (c. 325 – c. 265 a. C.), reconocido como “padre de la geometría”, quien propuso el primer sistema geométrico de comprobación de resultados, a través de su célebre obra Los elementos, compuesta cerca del año 300 a. C. en Alejandría. Allí se distinguen por primera vez el plano (bidimensional) y el espacio (tridimensional).

Otras contribuciones importantes a la geometría de la época fueron las de Arquímedes (c. 287 – c. 212 a. C.) y Apolonio de Perge (c. 262 – c. 190 a. C.). Con el paso de los siglos, el desarrollo de la matemática se trasladó hacia Oriente (específicamente a la India y al mundo islámico), donde la geometría se desarrolló junto al álgebra y la trigonometría, en estrecha relación con la astrología y la astronomía.

El interés por la disciplina regresó a Occidente durante el Renacimiento europeo, cuando numerosos estudiosos retomaron sus principios. En este período surgieron la geometría proyectiva y, sobre todo, la geometría cartesiana o analítica, fruto de la obra del filósofo francés René Descartes (1596-1650). Este nuevo enfoque introdujo un método algebraico para el estudio geométrico que transformó radicalmente el campo.

A partir de entonces, se desarrolló la geometría moderna, impulsada por grandes científicos como el alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el ruso Nikolái Lobachevski (1792-1856) y el húngaro János Bolyai (1802-1860), entre otros. Gracias a ellos surgió un nuevo paradigma: la geometría no euclidiana que rompió con los postulados clásicos de Euclides y amplió las fronteras del pensamiento matemático.

Objeto de estudio de la geometría

La geometría se ocupa de las propiedades del espacio y, en particular, de las formas y figuras que existen en él, ya sea en dos dimensiones (plano) o en tres (espacio). Entre sus principales objetos de estudio se encuentran los puntos, las rectas, los planos, los polígonos y los poliedros, entre otros. Estos objetos se comprenden como idealizaciones, es decir, como construcciones mentales que permiten representar y analizar el espacio y, a partir de ellas, trasladar (o no) sus conclusiones al mundo de lo concreto.

Tipos de geometría

La geometría comprende numerosas ramas o sistemas, y su clasificación suele basarse en la relación que establece con los cinco postulados básicos de Euclides. De estos, solo los cuatro primeros han sido demostrados desde la Antigüedad; el quinto postulado, en cambio, fue reinterpretado en la Edad Moderna, dando origen a distintas familias de geometrías.

Así, se distinguen los siguientes tipos principales:

• Geometría absoluta. Se rige por los cuatro primeros postulados de Euclides.

• Geometría euclídea. Acepta también el quinto postulado euclideano y se divide en dos variantes: la geometría del plano (bidimensional) y la geometría del espacio (tridimensional).

• Geometría clásica. Reúne los resultados de las geometrías euclidianas.

• Geometría no euclidiana. Surgida en el siglo XIX, agrupa los sistemas geométricos que se alejan del quinto postulado de Euclides, aunque acepta los cuatro primeros o algunos de ellos. Entre sus principales modelos se encuentran:
  • Geometría elíptica o riemanniana: cumple los cuatro primeros postulados de Euclides y describe espacios de curvatura constante y positiva.
  • Geometría hiperbólica o lobachevskiana: también respeta los primeros postulados de Euclides, pero describe espacios de curvatura constante y negativa.
  • Geometría esférica: estudia la superficie bidimensional de una esfera, en lugar de un plano recto, y se considera el modelo más simple de la geometría elíptica.
  • Geometría finita: se basa en un número limitado de puntos (a diferencia de la geometría infinita de Euclides), y se aplica únicamente en planos finitos. Existen dos tipos principales: geometría afín y geometría proyectiva.

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Referencias

• “Las geometrías” en http://www.bnm.me.gov.ar/
• “Geometry (Mathematics)” en https://www.britannica.com