Geometría analítica

Te explicamos qué es la geometría analítica, su historia, características y fórmulas más importantes. Además, sus diversas aplicaciones.

¿Qué es la geometría analítica?

La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etcétera. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra.

Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el Plano cartesiano, que es bidimensional y está compuesto por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y otro de ordenadas (eje y). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que sean de nuestro interés, asignando a cada punto de la misma un lugar puntual de coordenadas (x, y).

Así, los análisis de la geometría analítica usualmente comprenden la interpretación matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O bien puede ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia se encuentra plasmada en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo.

La geometría analítica es un campo fundamental de las matemáticas que suele formar parte del pensum de estudios de la secundaria.

Ver además: Función matemática

Historia de la geometría analítica

El fundador de este campo de estudio se considera el filósofo francés René Descartes (1596-1650), con el apéndice titulado “La Geometrie” en su célebre obra Discurso del método.

Sin embargo, en el siglo XI, el matemático persa Omar Khayyam (c.1048-c.1131) empleó ideas semejantes, que Descartes difícilmente podía conocer. Es decir que ambos probablemente las inventaron por cuenta propia.

Dado lo herméticas de las ideas de Descartes, el matemático holandés Franz van Schooten (1615-1660) y sus colaboradores ampliaron, desarrollaron y divulgaron la geometría analítica en Occidente. Solía llamársela “Geometría cartesiana”, para rendir homenaje a su creador, pero ese término hoy en día prefiere usarse para referirse únicamente al apéndice escrito por Descartes.

Aplicaciones de la geometría analítica

La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y hoy en día sus aplicaciones podemos verlas en, por citar unos ejemplos:

• Los puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera, hasta sus versiones modernas con cables de acero, el principio geométrico de la parábola se aplica en cada uno de ellos.
• Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar información satelital tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje, persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el disco de la antena puede reflejar la señal satelital hacia el dispositivo de alimentación.
• La observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, como lo dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no una circunferencia, como creía Copérnico (1473-1543). Dichos cálculos fueron posibles sólo empleando la Geometría analítica.

Fórmulas de la geometría analítica

La geometría estudia las figuras geométricas y obtiene sus ecuaciones básicas, como son:

• Las rectas se describen mediante la fórmula ax + by = c.
• Los círculos se describen mediante la fórmula x² + y² = 4.
• Las hipérbolas se describen mediante la fórmula xy = 1.
• Las parábolas se describen mediante la fórmula y = ax² + bx + c.
• Las elipses se describen mediante la fórmula (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Sigue con: Trigonometría

Referencias

• “Geometría analítica” en Wikipedia.
• “Breve historia de la geometría analítica” (video) en math2me.
• “Geometría Analítica” en Instituto Politécnico Nacional (México).
• “Geometría analítica” en Khan Academy.
• “Analytic geometry” en The Encyclopaedia Britannica.