Sistema de numeración

Te explicamos qué es un sistema de numeración y estudiamos las características de cada tipo de sistema, a través de ejemplos de diferentes culturas.

¿Qué es un sistema de numeración?

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y de normas a través del cual pueden expresarse la cantidad de objetos en un conjunto, es decir, a través del cual pueden representarse todos los números válidos. Esto quiere decir que todo sistema de numeración contiene un conjunto determinado y finito de símbolos, además de un conjunto determinado y finito de reglas mediante las cuales combinarlos.

Los sistemas de numeración fueron una de las principales invenciones humanas en la antigüedad, y cada una de las civilizaciones de antaño tuvo su propio sistema, relacionado con su modo de ver el mundo, o sea, con su cultura.

A grandes rasgos, los sistemas de numeración pueden clasificarse en tres tipos distintos:

• Sistemas no posicionales. Son aquellos en los que a cada símbolo le corresponde un valor fijo, sin importar la posición que ocupe dentro de la cifra (si aparece primero, a un lado o después).
• Sistemas semi-posicionales. Son aquellos en los que el valor de un símbolo tiende a ser fijo, pero se puede modificar en situaciones particulares de aparición (aunque suelen constituir más bien excepciones). Se entiende como un sistema intermedio entre el posicional y el no posicional.
• Sistemas posicionales o ponderados. Son aquellos en los que el valor de un símbolo está determinado tanto por su propia expresión, como por el lugar que ocupe dentro de la cifra, pudiendo valer más o menos o expresar distintos valores dependiendo de dónde se encuentre.

También es posible clasificar los sistemas de numeración en base a la cifra que utilizan de base para sus cálculos. Así, por ejemplo, el sistema occidental actual es decimal (pues su base es 10), mientras que el sistema de numeración sumerio era sexagesimal (su base era 60).

Puede servirte: Lenguajes formales

Sistemas de numeración no posicionales

Los sistemas de numeración no posicionales fueron los primeros en existir y tuvieron las bases más primitivas: los dedos de las manos, nudos en una cuerda u otros métodos de registro para coordinar conjuntos numéricos. Por ejemplo, si se cuenta con los dedos de una mano, luego se podrá contar en manos enteras.

En estos sistemas los dígitos tienen un valor propio, independientemente de su ubicación en la cadena de símbolos, y para formar nuevos símbolos, deben sumarse los valores de los símbolos (por eso se les conoce también como sistemas aditivos). Estos sistemas eran sencillos, fáciles de aprender, pero requerían de numerosos símbolos para expresar grandes cantidades, de modo que no eran del todo eficientes.

Son ejemplos de este tipo de sistemas los siguientes:

• El sistema de numeración egipcio. Surgido alrededor del III milenio a. C., tenía como base la decena (10) y empleaba jeroglíficos diferentes para cada orden de unidades: uno para la unidad, uno para la decena, uno para la centena y así sucesivamente hasta el millón.
• El sistema de numeración azteca. Propio del imperio mexica, tenía la veintena como base (20) y empleaba objetos concretos como símbolos: una bandera equivalía a 20 unidades, una pluma o unos cabellos equivalían a 400, una bolsa o costal a 8000, entre otros.
• El sistema de numeración griego. Específicamente el jónico, fue inventado y difundido en el Mediterráneo oriental a partir del siglo IV a. C., en sustitución del sistema acrofónico preexistente. Era un sistema alfabético, que empleaba letras para significar números, haciendo coincidir la letra con su lugar cardinal en el alfabeto (A=1, B=2). Así, se asignaba a cada cifra del 1 al 9 una letra, a cada decena otra letra específica, a cada centena otra más, hasta emplear 27 letras: las 24 del alfabeto griego y tres caracteres especiales.

Sistemas de numeración semi-posicionales

Los sistemas de numeración semi-posicionales combinan la noción del valor fijo de cada símbolo con ciertas normas de posicionamiento, por lo que pueden entenderse como un sistema híbrido o mixto entre posicionales y no posicionales. Gozan de facilidades para representar cifras grandes, manejando el orden de los números y procedimientos formales como la multiplicación, de modo que representan un paso adelante en complejidad respecto de los sistemas no posicionales.

En buena medida, el surgimiento de los sistemas semi-posicionales puede entenderse como el tránsito hacia un modelo más eficiente de numeración que pudiera satisfacer las necesidades más complejas de una economía más desarrollada, como la de los grandes imperios de la antigüedad clásica.

Son ejemplos de este modelo de numeración:

• El sistema de numeración romano. Creado en la antigüedad romana, sobrevive hasta nuestros días. En este sistema se construían las cifras usando ciertas letras mayúsculas del alfabeto latino (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, etc.), cuyo valor era fijo y operaba en base a la adición y la sustracción, dependiendo del lugar de aparición del símbolo. Si el símbolo se hallaba a la izquierda de un símbolo de igual o menor valor (como en II = 2 o en XI = 11), se debían sumar los valores totales; mientras que si el símbolo estaba a la izquierda de un símbolo de mayor valor (como en IX = 9, o IV = 4), debían restarse.
• El sistema de numeración chino clásico. Sus orígenes se remontan aproximadamente al 1500 a. C. y es un sistema muy estricto de representación vertical de los números a través de símbolos propios, combinando dos sistemas distintos: uno para la escritura coloquial y cotidiana, y otro para los registros comerciales o financieros. Era un sistema decimal que disponía de nueve signos diferentes que podían ubicarse uno junto al otro para sumar sus valores, a veces intercalando un signo especial o alternando la ubicación de los signos para indicar una operación específica.

Sistemas de numeración posicionales

Los sistemas de numeración posicionales son los más complejos y eficientes de los tres tipos de sistema numeral que existen. La combinación del valor propio de los símbolos y el valor asignado por su posición les permite construir con muy pocos caracteres cifras muy altas, sumando y/o multiplicando el valor de cada uno, lo cual los hace sistemas más versátiles y modernos.

Generalmente, los sistemas posicionales emplean un conjunto fijo de símbolos y a través de su combinatoria se produce el resto de las cifras posibles, hasta el infinito, sin necesidad de crear nuevos signos, sino inaugurando nuevas columnas de símbolos. Desde luego, esto implica que un error en la cadena altera también el valor total de la cifra.

Los primeros ejemplos de sistemas de este tipo surgieron en el seno de los grandes imperios o las culturas antiguas más exigentes en materia cultural y comercial, como el Imperio babilónico del milenio II a. C. Son ejemplos de este tipo de sistema de numeración:

• El sistema decimal moderno. Con apenas los dígitos del 0 al 9 permite construir cualquier cifra posible, añadiendo columnas cuyo valor se suma conforme se avanza hacia la derecha, teniendo como base la decena (10). Así, añadiendo símbolos a 1 podemos construir 10, 195, 1958 o 19589. Es importante aclarar que los símbolos que emplea provienen de la numeración indoarábiga.
• El sistema de numeración indoarábigo. Inventado por los antiguos sabios de la India y heredado luego por los árabes musulmanes, llegó a Occidente a través del Al-Ándalus y acabó reemplazando a los números romanos tradicionales. En este sistema, similar al decimal moderno, se representan las unidades del 0 al 9 mediante glifos específicos, que representaban mediante líneas y ángulos el valor de cada uno. El sistema de funcionamiento de este sistema es básicamente el mismo que el sistema decimal moderno occidental.
• El sistema de numeración maya. Fue creado para medir el tiempo, en lugar de para hacer transacciones matemáticas, y su base era vigesimal (20) y sus símbolos se corresponden con el calendario propio de esta civilización precolombina. Las cifras, agrupadas de 20 en 20, se representan con signos básicos (rayas, puntos y caracoles o conchas); y para pasar a la siguiente veintena, se añade un punto en el siguiente nivel de escritura. Además, los mayas fueron de los primeros en utilizar el número cero.

Sigue con: Sistema binario

Referencias

• “Sistema de numeración” en Wikipedia.
• “Notación posicional” en Wikipedia.
• “Otros sistemas de numeración” en la Junta de Andalucía (España).
• “Numeration Systems” en Encyclopedia.com.
• “Numeral system (Mathematics)” en The Encyclopaedia Britannica.